Fractals là gì: vẻ đẹp của toán học và sự vô hạn

2024 Tác giả: Seth Attwood | [email protected]. Sửa đổi lần cuối: 2023-12-16 16:20

Fractal đã được biết đến từ một thế kỷ nay, đã được nghiên cứu kỹ lưỡng và có rất nhiều ứng dụng trong cuộc sống. Tuy nhiên, hiện tượng này dựa trên một ý tưởng rất đơn giản: vô số hình dạng, vô số về vẻ đẹp và sự đa dạng, có thể thu được từ những cấu trúc tương đối đơn giản chỉ bằng hai thao tác - sao chép và chia tỷ lệ.

Một cái cây, một bờ biển, một đám mây hay những mạch máu trên tay chúng ta có điểm gì chung? Thoạt nhìn, có vẻ như tất cả các đối tượng này không có điểm chung. Tuy nhiên, trên thực tế, có một thuộc tính về cấu trúc vốn có trong tất cả các đối tượng được liệt kê: chúng tự giống nhau. Từ nhánh, cũng như từ thân cây, có những nhánh nhỏ hơn, từ chúng - thậm chí là những nhánh nhỏ hơn, v.v., tức là nhánh giống như toàn bộ cái cây.

Hệ thống tuần hoàn được sắp xếp theo một cách tương tự: các tiểu động mạch khởi hành từ các động mạch, và từ chúng - các mao mạch nhỏ nhất mà qua đó oxy đi vào các cơ quan và mô. Hãy xem ảnh vệ tinh của bờ biển: chúng ta sẽ thấy các vịnh và bán đảo; chúng ta hãy nhìn vào nó, nhưng từ cái nhìn của một con chim: chúng ta sẽ thấy các vịnh và mũi đất; Bây giờ chúng ta hãy tưởng tượng rằng chúng ta đang đứng trên bãi biển và nhìn vào chân của mình: luôn có những viên sỏi nhô ra mặt nước xa hơn những viên còn lại.

Nghĩa là, đường bờ biển vẫn tương tự như chính nó khi phóng to. Nhà toán học người Mỹ (mặc dù lớn lên ở Pháp) Benoit Mandelbrot đã gọi tính chất này của các vật thể là Fractality, và bản thân các vật thể đó - Fractals (từ fractus trong tiếng Latinh - là gãy).

Fractal là gì?

Khái niệm này không có định nghĩa chặt chẽ. Do đó, từ "fractal" không phải là một thuật ngữ toán học. Thông thường, Fractal là một hình hình học thỏa mãn một hoặc nhiều tính chất sau: • Nó có cấu trúc phức tạp ở bất kỳ độ phóng đại nào (trái ngược với, ví dụ, một đường thẳng, bất kỳ phần nào của nó là hình hình học đơn giản nhất - a đoạn thẳng). • Là (gần giống) bản thân. • Có thứ nguyên Hausdorff phân số (fractal), lớn hơn thứ nguyên tôpô. • Có thể được xây dựng bằng các thủ tục đệ quy.

Hình học và Đại số

Việc nghiên cứu về Fractal vào đầu thế kỷ 19 và 20 mang tính tập thể hơn là mang tính hệ thống, bởi vì các nhà toán học trước đó chủ yếu nghiên cứu các đối tượng "tốt" có thể nghiên cứu bằng cách sử dụng các phương pháp và lý thuyết chung. Năm 1872, nhà toán học người Đức Karl Weierstrass đã xây dựng một ví dụ về một hàm liên tục mà không nơi nào có thể phân biệt được. Tuy nhiên, cấu tạo của nó hoàn toàn trừu tượng và khó nhận thức.

Do đó, vào năm 1904, người Thụy Điển Helge von Koch đã phát minh ra một đường cong liên tục, không có tiếp tuyến ở bất kỳ đâu và nó khá đơn giản để vẽ. Nó chỉ ra rằng nó có các đặc tính của một fractal. Một trong những biến thể của đường cong này được gọi là "bông tuyết Koch".

Ý tưởng về sự tương tự của các hình đã được người Pháp Paul Pierre Levy, cố vấn tương lai của Benoit Mandelbrot, chọn ra. Năm 1938, ông xuất bản bài báo "Mặt phẳng và các đường cong và bề mặt không gian, bao gồm các phần tương tự như tổng thể", trong đó mô tả một Fractal khác - đường cong Lévy C. Tất cả các Fractal trên đây có thể được quy cho một loại Fractal có tính xây dựng (hình học).

Một lớp khác là fractal động (đại số), bao gồm tập Mandelbrot. Những nghiên cứu đầu tiên theo hướng này bắt đầu vào đầu thế kỷ 20 và gắn liền với tên tuổi của các nhà toán học Pháp Gaston Julia và Pierre Fatou. Vào năm 1918, cuốn hồi ký dài gần hai trăm trang của Julia, dành cho các lần lặp lại các hàm hợp lý phức tạp, được xuất bản, trong đó các bộ của Julia được mô tả - cả một gia đình các fractal liên quan chặt chẽ đến bộ Mandelbrot. Tác phẩm này đã được giải thưởng của Viện Hàn lâm Pháp, nhưng nó không có một hình ảnh minh họa nào nên không thể đánh giá hết vẻ đẹp của những đồ vật được phát hiện.

Mặc dù thực tế là công trình này đã làm rạng danh Julia trong số các nhà toán học thời bấy giờ, nhưng nó nhanh chóng bị lãng quên. Mãi cho đến nửa thế kỷ sau, máy tính mới được chú ý trở lại: chính chúng đã làm cho sự giàu có và vẻ đẹp của thế giới fractal trở nên rõ ràng.

Kích thước Fractal

Như bạn đã biết, kích thước (số lần đo) của một hình hình học là số tọa độ cần thiết để xác định vị trí của một điểm nằm trên hình này.

Ví dụ, vị trí của một điểm trên đường cong được xác định bởi một tọa độ, trên một bề mặt (không nhất thiết là mặt phẳng) bởi hai tọa độ, trong không gian ba chiều bởi ba tọa độ.

Từ quan điểm toán học tổng quát hơn, bạn có thể xác định thứ nguyên theo cách này: sự gia tăng kích thước tuyến tính, chẳng hạn, hai lần, đối với các đối tượng một chiều (từ quan điểm tôpô) (phân đoạn) dẫn đến tăng kích thước (chiều dài) hai lần, đối với hai chiều (hình vuông), cùng một sự gia tăng kích thước tuyến tính dẫn đến tăng kích thước (diện tích) lên 4 lần, đối với ba chiều (hình lập phương) - gấp 8 lần. Nghĩa là, thứ nguyên "thực" (được gọi là Hausdorff) có thể được tính bằng tỷ số giữa logarit của sự gia tăng "kích thước" của một đối tượng với logarit của sự gia tăng kích thước tuyến tính của nó. Tức là đối với đoạn D = log (2) / log (2) = 1, đối với mặt phẳng D = log (4) / log (2) = 2, đối với thể tích D = log (8) / log (2) = 3.

Bây giờ chúng ta hãy tính thứ nguyên của đường cong Koch, để xây dựng đoạn đơn vị được chia thành ba phần bằng nhau và khoảng giữa được thay bằng một tam giác đều không có đoạn này. Với việc tăng kích thước tuyến tính của đoạn nhỏ nhất lên ba lần, độ dài của đường cong Koch tăng theo log (4) / log (3) ~ 1, 26. Nghĩa là, thứ nguyên của đường cong Koch là phân số!

Khoa học và nghệ thuật

Năm 1982, cuốn sách “The Fractal Geometry of Nature” của Mandelbrot được xuất bản, trong đó tác giả đã thu thập và hệ thống hóa gần như tất cả các thông tin có sẵn tại thời điểm đó về Fractals và trình bày nó một cách dễ hiểu và dễ tiếp cận. Trong bài thuyết trình của mình, Mandelbrot nhấn mạnh chính không phải vào các công thức rườm rà và cấu trúc toán học, mà là trực giác hình học của độc giả. Nhờ những hình ảnh minh họa do máy tính tạo ra và những câu chuyện lịch sử, nhờ đó tác giả đã khéo léo pha loãng thành phần khoa học của chuyên khảo, cuốn sách đã trở thành một cuốn sách bán chạy nhất và công chúng biết đến Fractals.

Thành công của họ đối với những người không chuyên về toán học phần lớn là do với sự trợ giúp của các cấu trúc và công thức rất đơn giản mà một học sinh trung học có thể hiểu được, những hình ảnh về độ phức tạp và vẻ đẹp đáng kinh ngạc đã thu được. Khi máy tính cá nhân trở nên đủ mạnh, thậm chí cả một trào lưu nghệ thuật đã xuất hiện - vẽ fractal và hầu như bất kỳ chủ sở hữu máy tính nào cũng có thể làm được. Hiện nay trên Internet, bạn có thể dễ dàng tìm thấy nhiều trang web dành riêng cho chủ đề này.

Chiến tranh và hòa bình

Như đã nói ở trên, một trong những đối tượng tự nhiên có đặc tính fractal là đường bờ biển. Một câu chuyện thú vị được kết nối với anh ta, hay đúng hơn, với nỗ lực đo chiều dài của nó, điều này đã tạo nên cơ sở cho bài báo khoa học của Mandelbrot, và cũng được mô tả trong cuốn sách "Hình học Fractal của Tự nhiên".

Đây là một thí nghiệm được thực hiện bởi Lewis Richardson, một nhà toán học, vật lý và khí tượng học rất tài năng và lập dị. Một trong những hướng nghiên cứu của ông là nỗ lực tìm kiếm một mô tả toán học về nguyên nhân và khả năng xảy ra xung đột vũ trang giữa hai nước. Trong số các tham số mà ông tính đến là chiều dài đường biên giới chung của hai nước tham chiến. Khi thu thập dữ liệu cho các thí nghiệm số, ông nhận thấy rằng ở các nguồn khác nhau, dữ liệu về biên giới chung giữa Tây Ban Nha và Bồ Đào Nha rất khác nhau.

Điều này đã thúc đẩy ông khám phá ra những điều sau: chiều dài biên giới của một quốc gia phụ thuộc vào người cai trị mà chúng ta đo chúng. Tỉ lệ càng nhỏ thì đường viền càng dài. Điều này là do thực tế là với độ phóng đại cao hơn, có thể tính đến ngày càng nhiều các khúc cua ven biển, mà trước đây đã bị bỏ qua do độ gồ ghề của các phép đo. Và nếu, với mỗi lần tăng tỷ lệ, các khúc cua chưa được tính toán trước đó của các đường sẽ mở ra, thì hóa ra độ dài của các ranh giới là vô hạn! Đúng, trên thực tế điều này không xảy ra - độ chính xác của các phép đo của chúng ta có giới hạn hữu hạn. Nghịch lý này được gọi là hiệu ứng Richardson.

Fractals xây dựng (hình học)

Thuật toán xây dựng một Fractal có tính xây dựng trong trường hợp chung như sau. Trước hết, chúng ta cần hai hình dạng hình học phù hợp, chúng ta hãy gọi chúng là một cơ sở và một mảnh. Ở giai đoạn đầu tiên, cơ sở của Fractal trong tương lai được mô tả. Sau đó, một số bộ phận của nó được thay thế bằng một mảnh được lấy ở tỷ lệ thích hợp - đây là lần xây dựng lặp lại đầu tiên. Sau đó, hình kết quả một lần nữa thay đổi một số bộ phận thành những hình tương tự như một mảnh, v.v. Nếu chúng ta tiếp tục quá trình này vô thời hạn, thì trong giới hạn chúng ta sẽ có một Fractal.

Hãy xem xét quá trình này bằng cách sử dụng đường cong Koch làm ví dụ. Để làm cơ sở cho đường cong Koch, bạn có thể lấy bất kỳ đường cong nào (đối với "bông tuyết Koch", nó là một hình tam giác). Nhưng chúng tôi sẽ hạn chế mình trong trường hợp đơn giản nhất - một phân đoạn. Một đoạn là một đường đứt đoạn được hiển thị ở trên cùng trong hình. Sau lần lặp đầu tiên của thuật toán, trong trường hợp này, phân đoạn ban đầu sẽ trùng với phân đoạn, sau đó mỗi phân đoạn thành phần của nó sẽ được thay thế bằng một đường đứt đoạn, tương tự như một phân đoạn, v.v. Hình vẽ cho thấy bốn bước đầu tiên của quá trình này.

Trong ngôn ngữ toán học: Fractals động (đại số)

Fractal loại này phát sinh trong nghiên cứu các hệ động lực phi tuyến (do đó có tên như vậy). Hành vi của một hệ thống như vậy có thể được mô tả bằng một hàm phi tuyến phức tạp (đa thức) f (z). Lấy một số điểm bắt đầu z0 trên mặt phẳng phức (xem thanh bên). Bây giờ hãy xem xét một dãy số vô hạn như vậy trên mặt phẳng phức, mỗi số sau nhận được từ dãy số trước: z0, z1 = f (z0), z2 = f (z1),… zn + 1 = f (zn).

Tùy thuộc vào điểm ban đầu z0, một chuỗi như vậy có thể hoạt động khác nhau: có xu hướng đến vô cùng như n -> ∞; hội tụ về một số điểm cuối; lấy một số giá trị cố định theo chu kỳ; các tùy chọn phức tạp hơn cũng có thể thực hiện được.

Số phức

Số phức là một số bao gồm hai phần - thực và ảo, tức là tổng chính thức x + iy (ở đây x và y là các số thực). tôi là cái gọi là. đơn vị ảo, nghĩa là, một số thỏa mãn phương trình i ^ 2 = -1. Các phép toán cơ bản được xác định trên các số phức - cộng, nhân, chia, trừ (chỉ có phép toán so sánh không được xác định). Để hiển thị số phức, một biểu diễn hình học thường được sử dụng - trên mặt phẳng (nó được gọi là phức), phần thực được đặt trên abscissa và phần ảo trên tọa độ, trong khi số phức sẽ tương ứng với một điểm với Descartes tọa độ x và y.

Do đó, bất kỳ điểm z nào của mặt phẳng phức đều có đặc điểm hành vi riêng của nó trong quá trình lặp lại của hàm f (z), và toàn bộ mặt phẳng được chia thành các phần. Trong trường hợp này, các điểm nằm trên ranh giới của các phần này có tính chất sau: đối với một sự dịch chuyển nhỏ tùy ý, bản chất của hành vi của chúng thay đổi mạnh (những điểm như vậy được gọi là điểm phân đôi). Vì vậy, nó chỉ ra rằng các tập hợp điểm với một loại hành vi cụ thể, cũng như tập hợp các điểm phân tách, thường có đặc tính fractal. Đây là các tập Julia cho hàm f (z).

Gia đình rồng

Bằng cách thay đổi cơ sở và mảnh vỡ, bạn có thể nhận được nhiều loại Fractal xây dựng đáng kinh ngạc.

Hơn nữa, các hoạt động tương tự có thể được thực hiện trong không gian ba chiều. Ví dụ về Fractal thể tích là bọt biển Menger, kim tự tháp Sierpinski và những loại khác.

Họ rồng còn được gọi là Fractal xây dựng. Đôi khi chúng được gọi theo tên của những người khám phá là "rồng của Xa lộ-Harter" (về hình thức chúng giống với rồng Trung Quốc). Có một số cách để vẽ đường cong này. Cách đơn giản và trực quan nhất trong số đó là: bạn cần lấy một dải giấy đủ dài (giấy càng mỏng càng tốt) và gấp đôi. Sau đó uốn cong lại hai lần theo hướng như lần đầu.

Sau nhiều lần lặp lại (thường là sau năm hoặc sáu lần gấp, dải vải này trở nên quá dày để có thể uốn cong gọn gàng hơn nữa), bạn cần phải bẻ cong dải trở lại và cố gắng tạo thành các góc 90˚ tại các nếp gấp. Sau đó, đường cong của con rồng sẽ biến thành hồ sơ. Tất nhiên, đây sẽ chỉ là một con số gần đúng, giống như tất cả những nỗ lực của chúng tôi để mô tả các vật thể Fractal. Máy tính cho phép bạn mô tả nhiều bước nữa trong quá trình này, và kết quả là một con số rất đẹp.

Bộ Mandelbrot được xây dựng theo một cách hơi khác. Xét hàm fc (z) = z ^ 2 + c, với c là một số phức. Chúng ta hãy xây dựng một chuỗi của hàm này với z0 = 0, tùy thuộc vào tham số c, nó có thể phân kỳ đến vô cùng hoặc vẫn có giới hạn. Hơn nữa, tất cả các giá trị của c mà dãy này bị giới hạn tạo thành tập Mandelbrot. Nó được nghiên cứu chi tiết bởi chính Mandelbrot và các nhà toán học khác, những người đã phát hiện ra nhiều tính chất thú vị của tập hợp này.

Người ta thấy rằng các định nghĩa của bộ Julia và Mandelbrot tương tự nhau. Trên thực tế, hai bộ này có quan hệ mật thiết với nhau. Cụ thể, tập Mandelbrot là tất cả các giá trị của tham số phức c mà tập Julia fc (z) được kết nối với nhau (một tập được gọi là kết nối nếu nó không thể được chia thành hai phần rời rạc, với một số điều kiện bổ sung).

Fractals và cuộc sống

Ngày nay, lý thuyết về fractal được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người. Ngoài một đối tượng khoa học thuần túy để nghiên cứu và bức tranh Fractal đã được đề cập, Fractal được sử dụng trong lý thuyết thông tin để nén dữ liệu đồ họa (ở đây, thuộc tính tự tương tự của Fractal chủ yếu được sử dụng - sau cùng, để ghi nhớ một đoạn nhỏ của một bản vẽ và các phép biến đổi mà bạn có thể lấy được các phần còn lại, bộ nhớ cần thiết ít hơn nhiều so với việc lưu trữ toàn bộ tệp).

Bằng cách thêm các nhiễu loạn ngẫu nhiên vào các công thức xác định Fractal, người ta có thể thu được các Fractal ngẫu nhiên chuyển tải rất hợp lý một số vật thể thực - các yếu tố nổi, bề mặt của các vùng nước, một số loài thực vật, được sử dụng thành công trong vật lý, địa lý và đồ họa máy tính để đạt được nhiều hơn sự giống nhau của các đối tượng mô phỏng với thực. Trong điện tử, anten được sản xuất có hình dạng fractal. Chiếm ít không gian, chúng cung cấp khả năng tiếp nhận tín hiệu chất lượng cao.

Các nhà kinh tế học sử dụng Fractal để mô tả các đường cong tỷ giá tiền tệ (một tính chất được phát hiện bởi Mandelbrot). Điều này kết thúc chuyến du ngoạn nhỏ này vào thế giới tuyệt đẹp và đa dạng của Fractal.