Hình dạng phẳng, hình cầu hay hình hypebol của Vũ trụ của chúng ta?

2024 Tác giả: Seth Attwood | [email protected]. Sửa đổi lần cuối: 2023-12-16 16:20

Theo quan điểm của chúng tôi, vũ trụ là vô hạn. Ngày nay chúng ta biết rằng Trái đất có hình dạng của một quả cầu, nhưng chúng ta hiếm khi nghĩ về hình dạng của Vũ trụ. Trong hình học, có rất nhiều hình dạng ba chiều như một sự thay thế cho không gian vô hạn "quen thuộc". Các tác giả giải thích sự khác biệt trong hình thức dễ tiếp cận nhất.

Nhìn bầu trời đêm, dường như không gian cứ miên man về mọi hướng. Đây là cách chúng ta tưởng tượng về Vũ trụ - nhưng thực tế không phải vậy. Rốt cuộc, đã có lúc mọi người đều nghĩ rằng Trái đất phẳng: độ cong của bề mặt trái đất là không thể nhận thấy, và ý tưởng rằng Trái đất hình tròn dường như không thể hiểu được.

Ngày nay chúng ta biết rằng Trái đất có dạng hình cầu. Nhưng chúng ta hiếm khi nghĩ về hình dạng của vũ trụ. Khi hình cầu thay thế trái đất phẳng, các dạng ba chiều khác cung cấp các lựa chọn thay thế cho không gian vô hạn "quen thuộc".

Hai câu hỏi có thể được đặt ra về hình dạng của vũ trụ - những câu hỏi riêng biệt nhưng có liên quan lẫn nhau. Một là về hình học - tính toán tỉ mỉ về các góc và diện tích. Một vấn đề khác là về cấu trúc liên kết: cách các phần riêng biệt hợp nhất thành một dạng duy nhất.

Dữ liệu vũ trụ cho thấy rằng phần nhìn thấy được của Vũ trụ là nhẵn và đồng nhất. Cấu trúc cục bộ của không gian trông gần như giống nhau ở mọi điểm và theo mọi hướng. Chỉ có ba hình dạng hình học tương ứng với các đặc điểm này - phẳng, hình cầu và hypebol. Chúng ta hãy lần lượt xem xét các hình dạng này, một số cân nhắc và kết luận tôpô dựa trên dữ liệu vũ trụ học.

Vũ trụ phẳng

Thực tế, đây là hình học trường học. Các góc của một tam giác cộng lại bằng 180 độ và diện tích của một hình tròn là πr2. Ví dụ đơn giản nhất của một hình phẳng ba chiều là một không gian vô hạn thông thường, các nhà toán học gọi nó là Euclide, nhưng có những lựa chọn phẳng khác.

Không dễ để tưởng tượng ra những hình dạng này, nhưng chúng ta có thể kết nối trực giác của mình bằng cách suy nghĩ theo hai chiều thay vì ba. Ngoài mặt phẳng Euclide thông thường, chúng ta có thể tạo ra các hình phẳng khác bằng cách cắt một phần của mặt phẳng và dán các cạnh của nó. Giả sử chúng ta cắt một mảnh giấy hình chữ nhật và dùng băng dính dán các cạnh đối diện của nó. Nếu bạn dán cạnh trên với cạnh dưới, bạn sẽ có được một hình trụ.

Bạn cũng có thể dán cạnh phải với cạnh trái - sau đó chúng ta sẽ có được một chiếc bánh rán (các nhà toán học gọi hình dạng này là hình xuyến).

Bạn có thể sẽ phản đối: "Có gì đó không bằng phẳng cho lắm." Và bạn sẽ đúng. Chúng tôi đã gian lận một chút về hình xuyến phẳng. Nếu bạn thực sự cố gắng tạo điểm xuyến trên một tờ giấy theo cách này, bạn sẽ gặp một số khó khăn. Làm một hình trụ rất dễ, nhưng nó sẽ không hiệu quả để dán các đầu của nó: giấy sẽ vò dọc theo hình tròn bên trong của hình xuyến, nhưng nó sẽ không đủ cho hình tròn bên ngoài. Vì vậy, bạn phải lấy một số loại vật liệu co giãn. Nhưng kéo dài làm thay đổi chiều dài và góc, và do đó toàn bộ hình học.

Không thể xây dựng một hình xuyến vật lý mịn thực sự từ một vật liệu phẳng bên trong một không gian ba chiều thông thường mà không làm biến dạng hình học. Nó vẫn còn để suy đoán một cách trừu tượng về những gì nó sẽ sống trong một hình xuyến phẳng.

Hãy tưởng tượng rằng bạn là một thực thể hai chiều có vũ trụ là một hình xuyến phẳng. Vì hình dạng của vũ trụ này dựa trên một tờ giấy phẳng, nên tất cả các dữ kiện hình học mà chúng ta sử dụng được giữ nguyên - ít nhất là ở một tỷ lệ giới hạn: các góc của một tam giác cộng lại lên đến 180 độ, v.v. Nhưng với sự thay đổi trong cấu trúc liên kết toàn cầu thông qua việc cắt tỉa và dán, cuộc sống sẽ thay đổi đáng kể.

Để bắt đầu, hình xuyến có các đường thẳng lặp lại và quay trở lại điểm bắt đầu.

Trên một hình xuyến méo mó, chúng trông có vẻ cong, nhưng đối với những cư dân của một hình xuyến phẳng, chúng có vẻ thẳng. Và vì ánh sáng truyền theo đường thẳng, nên nếu bạn nhìn trực diện theo bất kỳ hướng nào, bạn sẽ thấy mình từ phía sau.

Nó như thể, trên mảnh giấy ban đầu, ánh sáng xuyên qua bạn, đi đến cạnh bên trái, và sau đó xuất hiện lại ở bên phải, giống như trong một trò chơi điện tử.

Đây là một cách khác để suy nghĩ về nó: bạn (hoặc một tia sáng) vượt qua một trong bốn cạnh và thấy mình đang ở trong một căn phòng mới, nhưng thực tế đó là cùng một căn phòng, chỉ theo một quan điểm khác. Lang thang trong một vũ trụ như vậy, bạn sẽ bắt gặp vô số bản sao của căn phòng gốc.

Điều này có nghĩa là bạn sẽ lấy vô số bản sao của chính mình ở bất cứ nơi nào bạn nhìn. Đây là một loại hiệu ứng phản chiếu, chỉ những bản sao này không phản chiếu chính xác.

Trên hình xuyến, mỗi trong số chúng tương ứng với một hoặc một vòng lặp khác, cùng với đó, ánh sáng quay trở lại bạn.

Theo cách tương tự, chúng ta có được một hình xuyến ba chiều phẳng bằng cách dán các mặt đối diện của một khối lập phương hoặc một khối hộp khác. Chúng ta sẽ không thể mô tả không gian này bên trong một không gian vô hạn thông thường - đơn giản là nó sẽ không vừa - nhưng chúng ta sẽ có thể suy đoán một cách trừu tượng về sự sống bên trong nó.

Nếu cuộc sống trong hình xuyến hai chiều giống như một mảng hai chiều vô tận gồm những căn phòng hình chữ nhật giống hệt nhau, thì cuộc sống trong hình xuyến ba chiều giống như một mảng ba chiều vô tận gồm những căn phòng hình khối giống hệt nhau. Bạn cũng sẽ thấy vô số bản sao của riêng bạn.

Hình xuyến ba chiều chỉ là một trong mười biến thể của thế giới phẳng hữu hạn. Ngoài ra còn có những thế giới phẳng vô hạn - ví dụ, một chất tương tự ba chiều của một hình trụ vô hạn. Mỗi thế giới này sẽ có một "căn phòng của tiếng cười" với những "phản chiếu" riêng.

Có thể vũ trụ của chúng ta là một trong những dạng phẳng?

Khi nhìn vào không gian, chúng ta không thấy có vô số bản sao của chính mình. Bất kể, loại bỏ các hình dạng phẳng không phải là dễ dàng. Thứ nhất, chúng đều có cùng dạng hình học cục bộ là không gian Euclide, vì vậy sẽ không thể phân biệt chúng bằng các phép đo cục bộ.

Giả sử bạn thậm chí đã nhìn thấy bản sao của chính mình, hình ảnh xa xôi này chỉ cho thấy bạn (hoặc toàn bộ thiên hà của bạn) đã nhìn như thế nào trong quá khứ xa xôi, kể từ khi ánh sáng đi qua một chặng đường dài cho đến khi nó chạm tới bạn. Có thể chúng ta thậm chí nhìn thấy bản sao của chính mình - nhưng đã thay đổi không thể nhận ra. Hơn nữa, các bản sao khác nhau ở khoảng cách khác nhau từ bạn, vì vậy chúng không giống nhau. Và ngoài ra, ở rất xa mà chúng ta vẫn sẽ không nhìn thấy gì cả.

Để giải quyết những khó khăn này, các nhà thiên văn học thường không tìm kiếm các bản sao của chính họ, mà để tìm kiếm các đặc điểm lặp lại trong hiện tượng có thể nhìn thấy ở xa nhất - bức xạ phông vi sóng vũ trụ, đây là di tích của Vụ nổ lớn. Trong thực tế, điều này có nghĩa là tìm kiếm các cặp vòng tròn có các mẫu điểm nóng và điểm lạnh phù hợp - người ta cho rằng chúng giống nhau, chỉ khác nhau từ các phía.

Các nhà thiên văn đã tiến hành một cuộc tìm kiếm như vậy vào năm 2015 nhờ vào Kính viễn vọng Không gian Planck. Họ tập hợp dữ liệu về các loại vòng tròn trùng hợp mà chúng ta mong đợi nhìn thấy bên trong hình xuyến 3D phẳng hoặc hình dạng 3D phẳng khác - cái gọi là tấm - nhưng họ không tìm thấy gì. Điều này có nghĩa là nếu chúng ta thực sự sống trong một hình xuyến, thì nó dường như lớn đến mức bất kỳ mảnh vỡ lặp lại nào đều nằm ngoài vũ trụ có thể quan sát được.

Hình dạng hình cầu

Chúng ta đã rất quen thuộc với các quả cầu hai chiều - đây là bề mặt của một quả bóng, một quả cam hoặc Trái đất. Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu vũ trụ của chúng ta là một hình cầu ba chiều?

Vẽ một hình cầu ba chiều rất khó, nhưng mô tả nó bằng một phép loại suy đơn giản thì rất dễ. Nếu hình cầu hai chiều là tập hợp tất cả các điểm ở một khoảng cách cố định từ một số điểm trung tâm trong không gian ba chiều thông thường, thì hình cầu ba chiều (hoặc "trisphere") là tập hợp tất cả các điểm ở một khoảng cách cố định từ một số điểm trung tâm trong không gian bốn chiều.

Cuộc sống bên trong trisphere rất khác với cuộc sống trong không gian phẳng. Để hình dung nó, hãy tưởng tượng rằng bạn là một thực thể hai chiều trong một hình cầu hai chiều. Hình cầu hai chiều là toàn bộ Vũ trụ, do đó bạn không thể nhìn thấy không gian ba chiều xung quanh mình và không thể đi vào nó. Trong vũ trụ hình cầu này, ánh sáng truyền đi bằng con đường ngắn nhất: trong những vòng tròn lớn. Nhưng những vòng tròn này dường như thẳng với bạn.

Bây giờ, hãy tưởng tượng rằng bạn và người bạn 2D của bạn đang đi chơi ở Bắc Cực, và anh ấy đã đi dạo. Di chuyển ra xa, lúc đầu, nó sẽ giảm dần trong vòng tròn thị giác của bạn - như trong thế giới bình thường, mặc dù không nhanh như chúng ta đã quen. Điều này là do khi vòng tròn trực quan của bạn phát triển, bạn bè của bạn ngày càng chiếm ít hơn.

Nhưng ngay sau khi người bạn của bạn băng qua đường xích đạo, một điều kỳ lạ xảy ra: anh ta bắt đầu tăng kích thước, mặc dù trên thực tế anh ta vẫn tiếp tục di chuyển ra xa. Điều này là do tỷ lệ phần trăm họ chiếm trong vòng tròn trực quan của bạn đang tăng lên.

Cách Nam Cực ba mét, bạn của bạn sẽ trông giống như đang đứng cách bạn ba mét.

Khi đến được Nam Cực, nó sẽ lấp đầy toàn bộ đường chân trời có thể nhìn thấy của bạn.

Và khi không có ai ở Nam Cực, chân trời thị giác của bạn sẽ còn xa lạ hơn - đó là bạn. Điều này là do ánh sáng bạn phát ra sẽ lan truyền khắp hình cầu cho đến khi nó quay trở lại.

Điều này ảnh hưởng trực tiếp đến cuộc sống trong thế giới 3D. Mỗi điểm của trisphere có một đối diện, và nếu có một vật thể ở đó, chúng ta sẽ nhìn thấy nó trên cả bầu trời. Nếu không có gì ở đó, chúng ta sẽ nhìn thấy chính mình ở hậu cảnh - như thể diện mạo của chúng ta được xếp chồng lên một quả bóng bay, sau đó quay từ trong ra ngoài và thổi phồng lên toàn bộ đường chân trời.

Nhưng mặc dù trisphere là mô hình nền tảng cho hình học cầu, nó vẫn còn xa không gian duy nhất có thể. Khi chúng tôi xây dựng các mô hình phẳng khác nhau bằng cách cắt và dán các mảnh của không gian Euclide, vì vậy chúng tôi có thể xây dựng các mô hình hình cầu bằng cách dán các mảnh trisphere phù hợp. Mỗi hình dạng được dán này sẽ giống như hình xuyến, có tác dụng là "căn phòng của tiếng cười", chỉ có điều số lượng các phòng trong hình cầu là hữu hạn.

Điều gì sẽ xảy ra nếu vũ trụ của chúng ta là hình cầu?

Ngay cả những người tự ái nhất trong chúng ta cũng không xem mình là hình nền thay vì bầu trời đêm. Nhưng, như trong trường hợp của một hình xuyến phẳng, việc chúng ta không nhìn thấy một cái gì đó hoàn toàn không có nghĩa là nó không tồn tại. Ranh giới của một vũ trụ hình cầu có thể lớn hơn giới hạn của thế giới hữu hình, và nền đơn giản là không thể nhìn thấy được.

Nhưng không giống như một hình xuyến, một vũ trụ hình cầu có thể được phát hiện bằng cách sử dụng các phép đo cục bộ. Các hình cầu khác với không gian Euclide vô hạn không chỉ ở cấu trúc liên kết toàn cục, mà còn ở hình học nhỏ. Ví dụ, vì các đoạn thẳng trong hình cầu là các hình tròn lớn, các hình tam giác ở đó "tròn trịa" hơn các hình Euclid và tổng các góc của chúng vượt quá 180 độ.

Về cơ bản, đo tam giác vũ trụ là cách chính để kiểm tra độ cong của vũ trụ. Đối với mỗi điểm nóng hoặc lạnh trên nền vi sóng vũ trụ, đường kính và khoảng cách của nó với Trái đất, tạo thành ba cạnh của tam giác, được biết đến. Chúng ta có thể đo góc tạo thành bởi điểm trên bầu trời đêm - và đây sẽ là một trong các góc của tam giác. Sau đó, chúng ta có thể kiểm tra xem kết hợp độ dài các cạnh và tổng các góc có tương ứng với hình phẳng, hình cầu hay hypebol hay không (trong đó tổng các góc của tam giác nhỏ hơn 180 độ).

Hầu hết các phép tính này, cùng với các phép đo độ cong khác, đều giả định rằng vũ trụ hoàn toàn phẳng hoặc rất gần với nó. Một nhóm nghiên cứu gần đây đã gợi ý rằng một số dữ liệu năm 2018 từ Kính viễn vọng Không gian Planck nói về vũ trụ hình cầu nhiều hơn, mặc dù các nhà nghiên cứu khác lập luận rằng bằng chứng được đưa ra có thể là do lỗi thống kê.

Hình học hyperbolic

Không giống như hình cầu tự đóng lại, hình học hyperbolic hoặc không gian có độ cong âm mở ra bên ngoài. Đây là hình dạng của mũ rộng vành, rạn san hô và yên ngựa. Mô hình cơ bản của hình học hypebol là không gian vô hạn, giống như Euclide phẳng. Nhưng vì một hình hypebol mở rộng ra bên ngoài nhanh hơn nhiều so với hình phẳng, nên không có cách nào để vừa với một mặt phẳng hypebol hai chiều bên trong không gian Euclide thông thường, nếu chúng ta không muốn làm sai lệch hình học của nó. Nhưng có một hình ảnh méo mó của mặt phẳng hypebol được gọi là đĩa Poincaré.

Theo quan điểm của chúng tôi, các tam giác gần đường tròn biên có vẻ nhỏ hơn nhiều so với các tam giác gần tâm, nhưng theo quan điểm của hình học hypebol, tất cả các tam giác đều giống nhau. Nếu chúng tôi cố gắng khắc họa những hình tam giác này thực sự có cùng kích thước - có lẽ bằng vật liệu đàn hồi và lần lượt thổi phồng từng hình tam giác, di chuyển từ tâm ra ngoài - đĩa của chúng tôi sẽ giống như một chiếc mũ rộng vành và sẽ ngày càng uốn cong hơn. Và khi bạn đến gần biên giới, độ cong này sẽ mất kiểm soát.

Trong hình học Euclide thông thường, chu vi của một hình tròn tỷ lệ thuận với bán kính của nó, nhưng trong hình học hypebol, hình tròn phát triển theo cấp số nhân so với bán kính. Một đống hình tam giác được hình thành gần ranh giới của đĩa hypebol

Do đặc điểm này, các nhà toán học nói rằng rất dễ bị lạc trong không gian hypebol. Nếu bạn của bạn di chuyển ra xa bạn trong không gian Euclide bình thường, anh ta sẽ bắt đầu di chuyển ra xa, nhưng khá chậm, bởi vì vòng tròn thị giác của bạn không phát triển nhanh như vậy. Trong không gian hypebol, vòng tròn trực quan của bạn mở rộng theo cấp số nhân, vì vậy bạn của bạn sẽ sớm thu hẹp lại thành một đốm nhỏ vô hạn. Vì vậy, nếu bạn đã không theo dõi lộ trình của anh ta, bạn khó có thể tìm thấy anh ta sau này.

Ngay cả trong hình học hypebol, tổng các góc của một tam giác nhỏ hơn 180 độ - ví dụ, tổng các góc của một số tam giác từ khảm đĩa Poincaré chỉ là 165 độ.

Các mặt của chúng có vẻ là gián tiếp, nhưng đó là bởi vì chúng ta đang nhìn hình học hypebol qua một lăng kính bóp méo. Đối với cư dân của đĩa Poincaré, những đường cong này thực sự là những đường thẳng, vì vậy cách nhanh nhất để đi từ điểm A đến điểm B (cả hai đều ở rìa) là đi qua một đường cắt vào tâm.

Có một cách tự nhiên để tạo ra một dạng tương tự ba chiều của đĩa Poincaré - lấy một quả bóng ba chiều và lấp đầy nó bằng các hình dạng ba chiều, chúng giảm dần khi chúng tiếp cận hình cầu biên, giống như hình tam giác trên đĩa Poincaré. Và, cũng như với mặt phẳng và hình cầu, chúng ta có thể tạo ra một loạt các không gian hypebol ba chiều khác bằng cách cắt ra các mảnh phù hợp của một quả bóng hypebol ba chiều và dán các mặt của nó.

Vũ trụ của chúng ta có phải là hyperbol không?

Hình học hyperbolic, với các tam giác hẹp và các vòng tròn phát triển theo cấp số nhân, hoàn toàn không giống với không gian xung quanh chúng ta. Thật vậy, như chúng ta đã lưu ý, hầu hết các phép đo vũ trụ đều nghiêng về một vũ trụ phẳng.

Nhưng chúng ta không thể loại trừ rằng chúng ta đang sống trong một thế giới hình cầu hoặc hypebol, bởi vì các mảnh nhỏ của cả hai thế giới trông gần như phẳng. Ví dụ, tổng các góc của các tam giác nhỏ trong hình học hình cầu chỉ hơn 180 độ một chút, và trong hình học hypebol, nó chỉ nhỏ hơn một chút.

Đó là lý do tại sao người xưa cho rằng Trái đất phẳng - độ cong của Trái đất không thể nhìn thấy bằng mắt thường. Hình cầu hoặc hình hypebol càng lớn thì mỗi phần của nó càng phẳng, do đó, nếu Vũ trụ của chúng ta có hình cầu hoặc hình hypebol cực kỳ lớn, phần nhìn thấy của nó gần bằng phẳng đến mức chỉ có thể phát hiện độ cong của nó bằng các dụng cụ siêu chính xác, và chúng tôi vẫn chưa phát minh ra chúng. …